Un percorso tra le successioni regolari
Una successione è un elenco ordinato di numeri $a_1, a_2, a_3, \dots$ Alcune successioni crescono con una regola semplice e ricorrente: sono le progressioni. In una progressione aritmetica fra due termini consecutivi c'è sempre la stessa differenza; in una progressione geometrica c'è sempre lo stesso rapporto.
Per ciascuna studieremo due cose: come calcolare un termine qualsiasi (il termine generale $a_n$) e come sommare i primi $n$ termini ($S_n$). Ogni sotto sezione contiene Teoria, una Simulazione interattiva, Prova tu (esercizi con correzione e suggerimenti) e un Quiz da 10 domande. Alla fine trovi un quiz riepilogativo da 20 domande.
Nota storica
Le progressioni accompagnano la matematica fin dalle sue origini: problemi pratici, paradossi filosofici e leggende raccontano come l'uomo abbia imparato a sommare «infiniti» termini.
Egizi e Babilonesi: i primi problemi
Nel papiro di Rhind (Egitto, ~1650 a.C.) compare un enigma celebre: «7 case, in ognuna 7 gatti, ognuno caccia 7 topi, ognuno mangia 7 spighe, ognuna avrebbe dato 7 misure di grano». La soluzione richiede di sommare la progressione geometrica $7+7^2+7^3+7^4+7^5$. Le tavolette babilonesi mostrano invece somme di progressioni aritmetiche usate per dividere eredità e razioni.
Euclide e gli Elementi (Libro IX)
Intorno al 300 a.C. Euclide dimostra, con il linguaggio della geometria, la formula della somma di una progressione geometrica (Proposizione IX.35). Nella Proposizione IX.36 la usa per costruire i numeri perfetti: se $1+2+4+\dots+2^{k}=2^{k+1}-1$ è un numero primo, allora $2^{k}\,(2^{k+1}-1)$ è perfetto (uguale alla somma dei suoi divisori, come $6$ e $28$).
Zenone e Archimede: sommare l'infinito
Il paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone (V sec. a.C.) nasconde una progressione geometrica di ragione minore di 1: infiniti tratti sempre più piccoli la cui somma è però finita. Archimede (III sec. a.C.), nella Quadratura della parabola, calcola di fatto la serie $1+\tfrac14+\tfrac1{16}+\dots=\tfrac43$, anticipando di quasi duemila anni l'idea di serie convergente.
La leggenda degli scacchi
Il saggio Sissa, inventore degli scacchi, chiede al re come ricompensa 1 chicco di grano sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza, raddoppiando ogni volta. È la progressione geometrica $1,2,4,8,\dots$ di ragione 2: sulle 64 caselle servirebbero \[ 1+2+4+\dots+2^{63}=2^{64}-1\approx 1,8\cdot10^{19} \] chicchi, più grano di quanto l'umanità ne abbia mai prodotto. Una lezione sulla crescita esponenziale.
Il piccolo Gauss e la somma 1+2+…+100
Si racconta che il maestro, per tenere occupata la classe, chiese di sommare i numeri da 1 a 100. Il giovane Carl Friedrich Gauss (fine '700) rispose quasi subito: 5050. Aveva notato che accoppiando $1+100,\;2+99,\;3+98,\dots$ si ottengono 50 coppie da 101. È esattamente l'idea dietro la formula della somma di una progressione aritmetica: \[ S_n=\frac{n\,(a_1+a_n)}{2}. \]
Attenzione: non ogni successione regolare è una progressione. La celebre successione di Fibonacci ($1,1,2,3,5,8,\dots$), diffusa in Europa dal Liber Abaci (1202), non ha né differenza né rapporto costanti: non è né aritmetica né geometrica.
Progressione aritmetica — termine generale
Ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo sempre lo stesso numero.
Definizione
Una progressione aritmetica è una successione in cui la differenza tra ogni termine e il precedente è costante. Questa costante si chiama ragione e si indica con $d$:
Quindi si passa da un termine al successivo aggiungendo $d$: $a_{n}=a_{n-1}+d$. Se $d>0$ la progressione è crescente, se $d<0$ è decrescente, se $d=0$ è costante.
Esempio: $3,\,7,\,11,\,15,\,19,\dots$ ha primo termine $a_1=3$ e ragione $d=4$.
Il termine generale
Partendo da $a_1$ e aggiungendo $d$ una volta per arrivare ad $a_2$, due volte per $a_3$, … per arrivare ad $a_n$ aggiungiamo $d$ esattamente $(n-1)$ volte:
Questa formula permette di calcolare un termine qualunque senza scrivere tutti i precedenti. Invertendola si ricavano anche gli altri elementi:
Proprietà del termine medio
In una progressione aritmetica ogni termine (tranne gli estremi) è la media aritmetica dei due termini adiacenti:
Più in generale, termini equidistanti dagli estremi hanno somma costante: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$ (è il cuore del trucco di Gauss).
Simulazione — crescita lineare
Muovi i cursori: i termini di una progressione aritmetica sono allineati, perché $a_n$ dipende da $n$ in modo lineare. La pendenza della retta è la ragione $d$.
Prova tu — calcola un termine
Calcola il termine richiesto. Inserisci solo il numero, poi premi Verifica. Hai suggerimenti progressivi se ti servono.
Quiz — termine generale (aritmetiche)
Progressione aritmetica — somma di n termini
Come sommare i primi $n$ termini senza addizionarli uno per uno.
Il trucco di Gauss
Vogliamo la somma $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$. Scriviamola due volte, una in ordine diretto e una inverso, e sommiamo colonna per colonna:
$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1$ sommando: ogni colonna vale $a_1+a_n$, e le colonne sono $n$
Si ottiene $2S_n = n\,(a_1+a_n)$, da cui la formula fondamentale:
«Numero dei termini per semisomma degli estremi». Sostituendo $a_n=a_1+(n-1)d$ si ottiene la forma che usa solo $a_1$ e $d$:
Un caso celebre
La somma dei primi $n$ numeri naturali è la progressione con $a_1=1$ e $d=1$:
Per $n=100$ si ottiene $\dfrac{100\cdot101}{2}=5050$, il risultato del piccolo Gauss.
Simulazione — il rettangolo di Gauss
Le barre blu sono i termini $a_1,\dots,a_n$. Sopra ognuna, in arancio, è disegnato il termine «specchiato» $a_{n+1-k}$: ogni colonna raggiunge la stessa altezza $a_1+a_n$. Le due copie formano un rettangolo di area $n\,(a_1+a_n)$, quindi $S_n$ è la sua metà.
Prova tu — calcola la somma
Somma i primi $n$ termini. Inserisci solo il numero e premi Verifica.
Quiz — somma (aritmetiche)
Progressione geometrica — termine generale
Ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando sempre per lo stesso numero.
Definizione
Una progressione geometrica è una successione (a termini non nulli) in cui il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante. Questa costante si chiama ragione e si indica con $q$:
Quindi si passa da un termine al successivo moltiplicando per $q$: $a_n=a_{n-1}\cdot q$. Esempio: $2,\,6,\,18,\,54,\dots$ ha $a_1=2$ e $q=3$.
Il termine generale
Partendo da $a_1$ e moltiplicando per $q$ esattamente $(n-1)$ volte si arriva ad $a_n$:
Da cui, invertendo: $\;q^{\,n-1}=\dfrac{a_n}{a_1}\;$ e $\;a_1=\dfrac{a_n}{q^{\,n-1}}$.
Il comportamento dipende da $q$
| Ragione $q$ | Andamento (con $a_1>0$) |
|---|---|
| $q>1$ | cresce sempre più rapidamente (crescita esponenziale) |
| $q=1$ | successione costante: tutti i termini uguali ad $a_1$ |
| $0<q<1$ | decresce avvicinandosi a zero |
| $q<0$ | termini di segno alternato (positivo, negativo, positivo, …) |
Proprietà del termine medio
Ogni termine è medio geometrico dei due adiacenti (in valore assoluto): $a_n^{\,2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$, cioè per termini positivi
Simulazione — crescita e decrescita esponenziale
Con $q>1$ i punti «decollano»; con $0<q<1$ precipitano verso lo zero senza mai raggiungerlo. Confronta con la retta della progressione aritmetica: qui la crescita è ben più rapida.
Prova tu — calcola un termine
Calcola il termine richiesto usando $a_n=a_1\,q^{\,n-1}$.
Quiz — termine generale (geometriche)
Progressione geometrica — somma di n termini
Una formula compatta per sommare termini che crescono (o calano) in modo esponenziale.
La formula della somma
Vogliamo $S_n=a_1+a_1 q+a_1 q^2+\dots+a_1 q^{\,n-1}$. Moltiplichiamo tutto per $q$ e sottraiamo:
$q\,S_n = \phantom{a_1 +{}} a_1q + \dots + a_1 q^{\,n-1} + a_1 q^{\,n}$ sottraendo, quasi tutti i termini si cancellano: $S_n-qS_n = a_1 - a_1 q^{\,n}$
Da $S_n(1-q)=a_1(1-q^{\,n})$, se $q\neq 1$, si ricava:
Se invece $q=1$ tutti i termini valgono $a_1$ e quindi $S_n=n\,a_1$.
La serie geometrica infinita
Se $|q|<1$, elevando $q$ a potenze sempre più grandi il termine $q^{\,n}$ si avvicina a zero. Sommando infiniti termini si ottiene un valore finito:
È ciò che accade in Zenone e in Archimede: ad esempio, con $a_1=1$ e $q=\tfrac12$ la somma è $\dfrac{1}{1-\frac12}=2$; con $q=\tfrac14$ si ottiene $\dfrac{1}{1-\frac14}=\dfrac43$.
Simulazione — somme parziali e convergenza
Le barre mostrano le somme parziali $S_1, S_2, \dots, S_n$. Con $q<1$ le barre si «appiattiscono» verso la linea tratteggiata arancio, che è il valore limite $\dfrac{a_1}{1-q}$: la serie converge. Con $q\ge 1$ le barre continuano a salire.
Prova tu — calcola la somma
Somma i primi $n$ termini con $S_n=a_1\dfrac{q^{\,n}-1}{q-1}$.
Quiz — somma (geometriche)
Quiz riepilogativo
20 domande su tutto il percorso: progressioni aritmetiche e geometriche, termini generali e somme. Una domanda per volta, con correzione immediata e ripasso finale degli errori.